Skip to content

В ц 0 6: Водоцементное соотношение

Водоцементное отношение для бетона — нормы (таблица) и расчет

Главная » Характеристики и свойства бетона

Вода – неизменный компонент любого бетона. К ней определяются определенные требования – низкая кислотность, отсутствие солей и органических добавок, таких как грунт, жиры, нефтепродукты и т.д. Но для качественного бетона важным моментом является и водоцементное соотношение – количество жидкости и цемента, которые нужно добавить для получения конкретного объема раствора.

Содержание

  1. Почему это важно?
  2. Расчет количества воды
  3. Распространенные ошибки
  4. Вывод

Почему это важно?

Под водоцементным соотношением понимают отношение массы воды к массе цемента, необходимого для приготовления рабочей смеси. Если в бетон добавить жидкости больше, чем нужно, его качество резко ухудшается, показатели бетона М400 могут соответствовать марке М200. После укладки монолит расслаивается, при этом его прочность снижается в несколько раз. Тем не менее, без воды невозможна гидратация цемента, поэтому она должна присутствовать. По водоцементному соотношению бетонной смеси требования изложены в ГОСТ по каждому конкретному виду цемента. Снижение прочности бетона в зависимости от марки и В/Ц соотношения представлено в графике.

Этот же процесс можно увидеть по таблице:

Нелинейность характеристик связана с тем, что химический процесс отвердевания бетона достаточно сложен. Например, влага, которая не участвует в гидратации, остается несвязанной, в результате чего в монолите остаются капилляры и поры, снижающие его плотность и прочность. При этом поры к поверхности бетона расширяются, поэтому он начинает крошиться за счет снижения водопроницаемости. Если влага остается в толще бетона до морозов, она неизбежно замерзнет и начнет разрывать конструкции изнутри, уменьшая прочностные характеристики. При этом лишняя вода влияет на подвижность раствора, которая тоже должна быть оптимальной. Зависимость высоты конуса от водоцементной смеси и пропорций других компонентов можно увидеть в следующей таблице:

Это означает, что правильно подобранное водоцементное соотношение – гарантия того, что бетон будет отвечать заявленным характеристикам.

Расчет количества воды

Согласно общепринятому правилу, для полной гидратации портландцемента ему потребуется всего 25% воды от его массы. Но на практике применить такую смесь невозможно, поскольку она окажется излишне жесткой, поэтому для получения достаточной пластичности потребуется больше воды. Чтобы получить пластичный, удобный для укладки раствор, необходимо показатель водоцементного отношения для бетона должен быть в рамках от 0,4 до 0,75. При меньшем значении его подвижность будет слишком мала и при укладке могут оставаться полости, если значение будет превышать максимальное, цемент расслоится, его прочность резко снизится, особенно это касается бетонов высоких марок.

От коэффициента В/Ц соотношения зависят свойства бетона. Если конструкции эксплуатируются в сложных условиях без дополнительной гидроизоляции, водоцементное соотношение не должно превышать 0,4, такой бетон используется, например, для производства тротуарной плитки. Для заливки фундаментов требуется большая подвижность смеси, поэтому допускается верхняя граница 0,75. Если бетонный монолит или конструкция требуют повышенных показателей морозостойкости, В/Ц не должно превышать 0,5.

Для изготовления бетонной смеси используется портландцемент высокой активности марок М400 или М500. Показатель соотношения воды к цементу, в зависимости от его вида, марки или класса бетона, можно определить по таблице:

Класс бетона (марка)ПЦ 400ПЦ 500
В 7,5 (М100)1,3
В 12,5 (М150)0,85
В 15 (М200)0,690,79
В 20 (М 250)0,570,64
В 22,5 (М300)0,530,61
В 25 (М300-М350)0,50,58
В 27,5 (М350)0,480,55

Очевидно, что чем выше марка бетона, тем больший расход цемента требуется при меньшем количестве жидкости, нужная подвижность в этом случае достигается за счет применения пластификаторов – присадок, повышающих подвижность бетона без добавления воды. К примеру, для изготовления бетона М300 на 100 кг цемента потребуется 100·0,53=53 л воды для ПЦ 400 или 100·0,61=61 л для ПЦ 500.

Распространенные ошибки

При самостоятельном изготовлении бетонной смеси нередко допускаются ошибки, существенно снижающие ее качество. Самая распространенная из них – превышенное водоцементное отношение. Это связано с тем, что очень важно правильно уложить, а затем уплотнить бетонную смесь, что легче сделать при большей подвижности, которая достигается добавлением лишней воды. Но при этом существенно снижается качество материала – первый признак, выступление жидкости на поверхности после укладки.

Добиться того же эффекта без превышения количества воды можно при помощи пластификаторов.

Еще одной распространенной ошибкой является неправильный уход за бетоном. Процесс гидратации цемента должен проходить при постоянной температуре и максимальной влажности. Поэтому его требуется регулярно смачивать или укрывать полиэтиленом. В этом случае плотность и прочность получившегося бетона будет в несколько раз превышать аналогичный показатель монолита, высушенного без соблюдения этих условий за счет появления микрополостей и капилляров.

При этом нужно осознавать, что изменение свойств бетона не находится в линейной зависимости от внешних факторов и состава. При сниженном показателе водоцементного соотношения смесь быстро схватится в течение первых трех дней, но такой бетон будет иметь меньшую прочность, чем тот, который был приготовлен с повышенным соотношением воды и цемента, при условии, что соблюдались все технологические условия. Поэтому при изготовлении бетонных смесей подбирать варианты с оптимальным значением водоцементного отношения.

При высоких водоцементных отношениях пространство между двумя цементными зернами так велико, что оно не может быть заполнено при полной гидратации цемента. Остается избыточная вода, которая испаряется и оставляет пустоты (поры, капилляры).

Вывод

Правильное водоцементное соотношение – одно из главных условий получения качественного бетона. При этом известное правило, что для гидратации цемента требуется только 25% воды от его массы, не применимо на практике. Это связано с тем, что некоторый излишек воды должен обязательно оставаться для обеспечения подвижности раствора. Малое количество воды негативно сказывается на прочности конструкций и монолитов после полного схватывания, делает невозможным качественное уплотнение смеси. Поэтому при производстве бетонов различных марок необходимо придерживаться технологических требований.

Лишняя влага в строительном растворе тоже приводит к снижению его качества. Если жидкость не связана должным образом, то компоненты раствора расслаиваются в нем относительно собственной плотности. В результате вместо монолита получается «слоеный пирог», не соответствующий никаким техническим требованиям. Главным признаком излишка воды — ее выделение на поверхности уложенного монолита. Поэтому, в тех случаях, когда требуется дополнительная удобоукладываемость раствора, например, заполнении опалубки с густым армированием, лучше использовать пластификаторы. Они придадут раствору дополнительную подвижность без добавления излишней воды. Обязательно нужно учитывать тот факт, что при укладке бетонной смеси при температурах ниже нуля, В/Ц должно быть как можно ниже, чтобы большая часть воды участвовала в гидратации вяжущего с выделением тепла.

В частном строительстве для получения нужного водоцементного соотношения целесообразно сделать пробный замес. Для этого к одной части цемента добавляют 3 части песка, слегка увлажняют получившийся материал и добавляют 5 частей щебня. После этого вода добавляется мелкими порциями из мерной посуды (чтобы знать ее объем) для получения нужной подвижности раствора. После этого ком бетонного раствора укладывают на ровную поверхность – если он держит форму, водоцементное отношение оптимальное, если расплывается – воды много, когда ком разваливается и расслаивается, в него нужно дополнительно добавить воду.

 

Рейтинг

( 2 оценки, среднее 5 из 5 )

0 28 544 просмотров

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:

Водоцементное соотношение

  Для затворения бетонной смеси применяют обычную водопроводную питьевую воду, а также природную очищенную воду, не содержащую вредных примесей (сульфаты, минеральные и органические кислоты, жиры, сахар и др. ), препятствующих нормальному схватыванию и твердению бетона. Использовать промышленные, сточные и болотные воды для затворения и поливки бетона не рекомендуется. Цемент и вода являются главными связующими компонентами при производстве бетона. Например, при применении цемента марки 400 для производства бетона марки 200 используется соотношение 1:3:5:0,5. Если же применяется цемент марки 500, то при этом условном соотношении получается бетон марки 350. Соотношение воды и цемента (водоцементное соотношение — обозначается «В/Ц»=масса воды / масса цемента) — важная характеристика бетона. От этого соотношения напрямую зависит прочность бетона: чем меньше В/Ц, тем прочнее бетон. Цемент реагирует лишь с четвертью массы воды от своей собственной массы, потому, теоретически, для гидратации цемента достаточно В/Ц=0,2. Однако, у такого бетона слишком низкая пластичность, поэтому на практике используются В/Ц=0,3-0,75. Избыточная вода, не вступившая в химическую реакцию с цементом, остается в бетоне в виде водяных пор и капилляров или испаряется, оставляя воздушные поры. Все эти виды пор ослабляют бетон. Чем больше будет воды в бетонной смеси, тем больше будет пористость и меньше прочность бетона. Для увеличения морозостойкости рекомендуется водоцементное соотношение не больше 0,6 или 0,5 (25 литров воды на 50 кг цемента). 

   Для бетонных изделий, работающих в особо тяжелых условиях (тротуарная плитка), водоцементное число назначают равным 0,4. Максимальное водоцементное число для бетонной смеси, используемой для бетонирования фундаментов, составляет 0,75.
    Водоцементное соотношение влияет на пористость (плотность) бетона и, соответственно,  на водопроницаемость бетона. Так бетон марки W4 (нормальной проницаемости) готовится при водоцементном соотношении 0,6, бетон марки W6 (пониженной проницаемости) готовится при водоцементном соотношении 0,55, а бетон марки W-8 (особо низкой проницаемости) – при водоцементном соотношении 0,45.
   Наличие достаточного количества воды при наборе бетоном прочности в процессе гидратации обеспечивает морозостойкость бетона. Поэтому так важен правильный уход за бетоном, о котором я ещё напишу. Бетон, гидратирующийся в условиях достаточного количества воды при поливке и укрытии его полиэтиленовой пленкой, имеет гораздо большую морозостойкость и прочность, по сравнению с бетоном, который быстро высох.  Прочность неукрытого бетона в первые 10-12 часов гидратации может понизиться в 3 раза по сравнению с укрытым бетоном. При быстром высыхании бетона в ранний период возникают также значительные деформации усадки и появляются микротрещины.

   Но не всё так просто и линейно — меньше воды и всё хорошо — нет! При меньшем количестве воды в бетонной смеси бетон быстрее набирает прочность, особенно в первые дни твердения. Однако в дальнейшем, на сроке в три месяца и на сроке в один год, бетон с меньшим водоцементным соотношением будет иметь меньшую прочность. 

     Распространенной ошибкой при «домашнем» производстве бетона является чрезмерное добавление воды, которое увеличивает подвижность бетона, но в несколько раз снижает его прочность, потому очень важно точно соблюсти водоцементное соотношение!  Для сохранения удобоукладываемости и подвижности бетонной смеси при нормальном В/Ц используют пластификаторы, о них я расскажу в статье о химических добавках.

Нормальными условиями твердения бетона считают температуру 15-20 °С при влажности 90-100%. 
Качество воды для затворения бетонных смесей для армированных бетонных фундаментов нормируется ГОСТ 23732-79 «Вода для бетонов и растворов. Технические условия»: 

  • Содержание в воде органических поверхностно-активных веществ, сахаров или фенолов, каждого, не должно быть более 10 мг/л.

  • Вода не должна содержать пленки нефтепродуктов, жиров, масел, в ней не должно быть окрашивающих примесей.

  • Окисляемость воды не должна быть более 15 мг/л, а рН должен быть не менее 4 и не более 12,5.

  • Максимальное содержание растворимых солей должно быть не более 5000 мг/л, взвешенных частиц не более 200 мг/л, ионов SO4-2 не более 2700 мг/л, ионов Cl-1 не более 1200 мг/л.

цель c — Что означает \0?

спросил

Изменено
10 лет, 2 месяца назад

Просмотрено
258 тысяч раз

Возможный дубликат:
Что означает символ \0 в строке C?

Я новичок в разработке iPhone. Я хочу знать, что значит '\0' означает в C , и что эквивалентно этому в цель c.

  • объектив-с
  • с

2

Нулевой символ '\0' (также завершающий нуль ), сокращенно NUL , является управляющим символом со значением ноль . Это то же самое в C и цель C

Символ имеет гораздо большее значение в C и служит зарезервированным символом, используемым для обозначения конца строка , часто называемая завершающейся нулем строкой

Длина строки C (массив, содержащий символы и оканчивающийся символом '\0' ) определяется путем поиска (первого) байта NUL .

В C \0 обозначает символ с нулевым значением. Следующие идентичны:

 char a = 0;
символ б = '\ 0';
 

Полезность этой управляющей последовательности больше внутри строковых литералов, которые представляют собой массивы символов:

 char arr[] = "abc\0def\0ghi\0";
 

(Обратите внимание, что этот массив имеет два нулевых символа в конце, поскольку строковые литералы включают скрытый, неявный терминальный ноль. )

'\0' внутри символьных литералов и строковых литералов обозначает символ с нулевой код. Значение в C и в Objective C идентично.

В качестве иллюстрации можно использовать \0 в инициализаторе массива для создания массива, эквивалентного строке с завершающим нулем:

 char str1[] = "Привет";
char str2[] ​​= {'H', 'e', ​​'l', 'l', 'o', '\0'};
 

В общем, вы можете использовать \ooo для представления символа ASCII в восьмеричной нотации , где или обозначают до трех восьмеричных цифр.

3

В языке C '\0' означает то же самое, что и целочисленная константа 0 (такое же значение ноль, тот же тип int ).

Для тех, кто читает код, запись '\0' предполагает, что вы планируете использовать именно этот ноль в качестве символа.

\0 — нулевой символ. В C он в основном используется для обозначения окончания строки символов. Конечно, это обычный персонаж, и его можно использовать как таковой, но это случается редко.

Более простые версии встроенных функций обработки строк в C требуют, чтобы ваша строка заканчивалась нулем (или заканчивалась \0 ).

4

В C \0 представляет собой литеральную константу символа, хранящуюся в типе данных int , который представляет символ со значением 0.

Поскольку Objective-C является строго надмножеством C, эта константа сохраняется.

4

Это означает, что ‘\0’ является символом NULL в C, не знаю о Objective-C , но, вероятно, это то же самое.

3

1.1 Логические операции

Математика обычно включает в себя объединение истинных (или гипотетически истинных)
утверждения различными способами для получения (или доказательства) новых истинных утверждений. 2+y = 12$», то $P(2,8)$ и $P(3,3)$ равны
верно, а $P(1,4)$ и $P(0,6)$ ложны. Если $Q(x,y,z)$ равно «$x+y

Является ли предложение истинным или ложным, обычно зависит от того, что мы
говорят о том, что одно и то же предложение может быть истинным или ложным в зависимости от
по контексту; например, формула $x|y$ означает, что `$x$ делит
$у$’. То есть $x|y$, если существует некоторый $z$ такой, что $y=x\cdot z$. Сейчас,
правда ли, что $3|2$? Это зависит: если мы говорим о целых числах,
ответ — нет; если мы говорим о рациональных числах, то ответ
да, потому что $2=3\cdot(2/3)$. (Конечно, если $x\not=0$ и $y$
любые рациональных чисел, то $x|y$, так что это не очень
полезное понятие. При обычном использовании внешний вид формулы
«$x|y$» подразумевает , что $x$ и $y$ являются целыми числами.)

Вселенная дискурса для конкретной области математики представляет собой набор, который
содержит все, что представляет интерес для этой темы. Когда мы
изучение математических формул типа «$x$ делит $y$» на переменные
предполагается, что они принимают значения в любом дискурсивном универсуме
подходит для конкретного предмета. Вселенная дискурса
обычно ясно из обсуждения, но иногда нам нужно будет
идентифицируйте его явно для ясности.
Вселенная дискурса обычно обозначается $U$.

Сложные предложения и формулы составляются из более простых,
используя небольшое количество логических операций . Просто горстка
этих операций позволит нам сказать все, что мы должны сказать в
математика.

Если $P$ — это формула, то «не $P$» — это другая формула.
формула, которую мы символически запишем как $\lnot P$. Конечно, $\lне
P$ ложно, если $P$ истинно, и наоборот, например,

«6 не простое число» или «Неверно, что 6
премьер» или
«$\lnot(\hbox{6 простое число})$» (T)

«Рональд Рейган не был президентом». (Ф)

Предположим, что $P$ и $Q$ — формулы. Затем
«$P$ и $Q$» — это формула, записанная символически
как $P\land Q$, называемое соединением
из $P$ и $Q$. Чтобы $P\land Q$ были истинными как $P$, так и $Q$
должно быть истинным, иначе оно ложно, например,

«5 долларов = 6 долларов и 7 долларов = 8 долларов». (F)

«Сиэтл находится в Вашингтоне, а Бойсе — в Айдахо». (T)

«Толстой был русским, а Диккенс был
Французский.» (Ф)

Если $P$ и $Q$ являются формулами, то формула «$P$ или $Q$» записывается символически как $P\lor Q$, называемая
дизъюнкция $P$ и $Q$. Это
важно отметить, что это включительно или, то есть, «либо
или оба». Итак, если $P$, $Q$ или оба $P$ и $Q$ истинны,
то же самое и с $P\lor Q$. Единственный случай, когда $P\lor Q$ может быть ложным, состоит в том, что оба $P$
и $Q$ ложны, например,

«Вашингтон в Канаде или Лондон в Англии». (T)

«$5

«Ленин был испанцем или Ганди был итальянцем». (Ф)

Если $P$ и $Q$ — формулы, то «если $P$, то $Q$»
или «$P$ означает, что $Q$» написано
$P\подразумевает Q$, используя условный символ ,
$\подразумевает$. Не очевидно (по крайней мере, для большинства людей), под чем
обстоятельства $P\имеет Q$ должно быть правдой. Отчасти это потому, что
«if… then» используется в обычном английском языке более чем одним способом, однако
нам нужно исправить правило, которое позволит нам точно знать, когда $P\ подразумевает
Q$ верно. Конечно, если $P$ истинно, а $Q$ ложно, $P$ не может
подразумевают $Q$, поэтому $P\implis Q$ в этом случае ложно. Чтобы помочь нам с
в других случаях рассмотрим следующее утверждение:

«Если $x$ меньше 2, то $x$ меньше 4».

Это утверждение должно быть верным независимо от значения $x$.
(при условии, что вселенная дискурса является чем-то знакомым, например
целые числа). Если $x$ равно 1, оно оценивается как $\rm T\имплицитно T$, если $x$
равно 3, оно становится $\rm F\implis T$, а если $x$ равно 5, становится
$\rm F\ подразумевает F$. Таким образом, оказывается, что $P\implis Q$ истинно, если только
$P$ истинно, а $Q$ ложно. Это правило, которое мы принимаем.

Наконец, бикондиционал , написанный $\Leftrightarrow$, соответствует
фраза «если и только если» или «если»
для краткости. Таким образом, $P \Leftrightarrow Q$ истинно, когда и $P$, и $Q$
имеют одинаковое истинностное значение, иначе оно ложно.

Пример 1.1.2 Предположим, что $P(x,y)$ равно «$x+y=2$» и $Q(x,y)$
равно «$xy>1$». Тогда, когда $x=1$ и $y=1$,
$\lnot P(x,y)$, $P(x,y)\land Q(x,y)$, $P(x,y)\lor Q(x,y)$,
$P(x,y)\имеет Q(x,y)$ и $P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y)$
имеют значения истинности F, F, T, F, F соответственно, а когда
$x=2$ и $y=3$ имеют истинностные значения
Т, Ф, Т, Т, Ф соответственно.
$\квадрат$

Используя операции $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\implies$,
$\Leftrightarrow$, мы можем построить составных выражений , таких как
$$
(P\land (\lnot Q))\ подразумевает ((\lnot R)\lor ((\lnot P)\land Q)).
$$
Как показывает этот пример, иногда необходимо
включать много круглых скобок, чтобы группировать термины
в формуле ясно. Как и в алгебре, где
умножение имеет приоритет перед сложением, мы можем
убрать некоторые скобки
согласование определенного порядка, в котором логически
операции выполняются. Мы
будет применять операции в этом порядке, начиная с
от первого к последнему: $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\implies$
и $\Leftrightarrow$. Так
$$A\подразумевает B\или C\land\lnot D
$$
сокращение от
$$A\подразумевает (B\или (C\land (\lnot D))).
$$
Как и в алгебре, часто разумно включать
несколько дополнительных скобок, чтобы убедиться, что предполагаемый смысл понятен.

Большая часть информации, которую мы обсудили, может быть резюмирована в таблицы истинности . Например, таблица истинности для
$\lnot P$:

$P$ $\lnot P$
Т Ж
Ф Т

В этой таблице две строки, потому что есть только две возможности для
истинное значение $P$. Другие логические операции используют две переменные, поэтому
им требуется 4 строки в их таблицах истинности.

$P$ $Q$ $P\land Q$ $P\lor Q$ $P\Rightarrow Q$ $P\Leftrightarrow Q$
Т Т Т Т Т Т
Ф Т Ф Т Т Ф
Т Ж Ж Т Ж Ж
Ф Ф Ф Ф 9п$
строки в таблице, потому что есть много разных способов назначить
T и F для $n$ простых формул в составном выражении.
Таблица истинности для $(P\land Q)\lor \lnot R$ такова:

$P$ $Q$ $R$ $P \land Q$ $\lnot R$ $(P \land Q)\lor\lnot R$
Т Т Т Т Ф Т
Ж Т Т Ж Ж Ж
Т Ж Т Ж Ж Ж
Ф Ф Т Ф Ф Ф
Т Т Ж Т Т Т
Ж Т Ж Ж Т Т
Т Ф Ф Ф Т Т
Ж Ж Ж Ж Т Т

Обратите внимание, как включение промежуточных шагов облегчает работу с таблицей.
посчитай и прочитай.

Тавтология — это логическое выражение, которое
всегда оценивается как T, то есть последний столбец его таблицы истинности
состоит только из Т. Иногда говорят, что тавтология равна 9.0140 действительный ; хотя «действительный» используется в других контекстах как
ну, это не должно вызывать путаницы. Например, $(P\land Q)\lor
P\Leftrightarrow P$ является тавтологией, поскольку ее таблица истинности такова:

$P$ $Q$ $P\land Q$ $(P\land Q)\lor P$ $(P\land Q)\lor P\Leftrightarrow P$
Т Т Т Т Т
Ж Т Ф Ф Т
Т Ж Ж Т Т
Ф Ф Ф Ф Т

Мы перечисляем несколько важных тавтологий в следующей теореме.

Теорема 1.1.3. Справедливы следующие утверждения.

    а) $P\стрелка влево \lnot\lnot P$

    б) $P\lor Q\Leftrightarrow Q\lor P$

    c) $P\land Q\Стрелка влево Q\land P$

    d) $(P\land Q)\land R\Стрелка влево P\land(Q\land R)$

    e) $(P\lor Q)\lor R\Стрелка влево P\lor(Q\lor R)$

    f) $P\land (Q\lor R)\Leftrightarrow
    (P\land Q)\lor (P\land R)$

    g) $P\lor (Q\land R)\Стрелка влево (P\lor Q)\land (P\lor R)$

    ч) $(P\подразумевает Q)\стрелка влево (\lnot P\или Q)$

    i) $P\подразумевает (P\или Q)$

    j) $P\land Q\подразумевает Q$

    k) $(P\стрелка влево Q)\стрелка влево ((P\подразумевает Q)\land
    (Q\подразумевает P))$

    l) $(P\подразумевается Q)\стрелка влево (\lnot Q\подразумевается \lnot P)$

Доказательство.
Доказательства оставлены в качестве упражнений.
$\qed$

Заметим, что (b) и (c) — коммутативные законы, (d) и (e) —
ассоциативные законы и (е) и (ж) говорят, что $\land$
и $\lor$ распределяются друг над другом. Это говорит о том, что существует
форма алгебры для логических выражений, аналогичная алгебре
для числовых выражений. Этот предмет называется Булева алгебра и имеет множество применений.
особенно в информатике.

Если две формулы всегда принимают одно и то же истинностное значение независимо от того,
элементы из вселенной дискурса, которые мы заменяем различными
переменные, то мы говорим, что они эквивалентны . Стоимость эквивалента
формулы в том, что они говорят одно и то же. Это всегда правильный шаг
в доказательстве заменить некоторую формулу эквивалентной. Кроме того,
многие тавтологии содержат важные идеи для построения доказательств. Для
например, (k) говорит, что если вы хотите показать, что $P\Leftrightarrow Q$, это
можно (и часто целесообразно) разбить доказательство на два
части, одна из которых доказывает импликацию $P\implis Q$, а вторая
доказывая обратное , $Q\подразумевает P$.

При чтении теоремы 1.1.3 у вас может возникнуть
заметил, что $\land$ и $\lor$ обладают многими схожими свойствами.
Они называются «двойственными» понятиями — для любого свойства
один, есть почти идентичное свойство, которому удовлетворяет другой,
экземпляры двух операций поменялись местами. Это часто
означает, что когда мы доказываем результат, включающий одно понятие, мы получаем
соответствующий результат для своего двойственного без дополнительной работы.

Джордж Буль. Буль
(1815–1864) имел только обычное школьное образование, хотя и выучил
Греческий и латынь самостоятельно. Он начал свою карьеру в качестве элементарного
школьным учителем, но решил, что ему нужно больше узнать о
математики, поэтому он начал изучать математику, а также
языки, необходимые ему для чтения современной литературы на
математика. В 1847 году он опубликовал короткую книгу «Математический анализ».
Анализ логики
, который, можно справедливо сказать, лег в основу исследования.
математической логики. Ключевой вклад работы заключался в
переопределить «математику» так, чтобы она означала не просто «изучение чисел и
величина», но изучение символов и манипулирование ими в соответствии с
к определенным правилам. Важность этого уровня абстракции для
будущее математики трудно переоценить. Вероятно, на
Благодаря этой работе он перешел на должность в Куинс-колледж в Корке.

В «Исследовании законов мысли» , опубликованном в 1854 г.,
Буль установил настоящую формальную логику, развивая то, что сегодня называется
Булева алгебра или иногда алгебра множеств . Он использовал символы для
сложение и умножение как операторы, но в совершенно абстрактном
смысл. Сегодня эти символы все еще иногда используются в булевых выражениях.
алгебре, хотя символы `$\land$’ и `$\lor$’, и `$\cap$’ и
`$\cup$’ также используются. Буль применил алгебраическую манипуляцию к
процесс рассуждения. Вот простой пример типа
манипуляцию, которую он проделал: уравнение $xy=x$ (которое сегодня можно было бы записать
$x\land y = x$ или $x\cap y = x$) означает, что «все вещи, удовлетворяющие
$x$ удовлетворяет $y$’, или, говоря нашим языком, $x\имеет y$. Если также $yz=y$ (что
есть $y\implis z$), то подстановка $y=yz$ в $xy=x$ дает
$x(yz)=x$ или $(xy)z=x$. Заменив $xy$ на $x$, получим $xz=x$, или
$x\подразумевает z$. Этот простой пример логического рассуждения используется более
и далее по математике.
92+bD+c=0$, обработка
$D$ как номер , предоставляет информацию о решениях для
дифференциальное уравнение.

Информация здесь взята из A History of Mathematics, by
Карл Б. Бойер, Нью-Йорк: John Wiley and Sons, 1968. Подробнее
информацию см. в «Лекции о десяти британских математиках» , автор
Александр Макфарлейн, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1916.

Пример 1.1.1
Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

    а) $(P\land Q)\или \lnot P$

    б) $P\имеет (Q\land P)$

    c) $(P\land Q)\Стрелка влево (P\lor \lnot R)$

    d) $\lnot P\имеет в виду \lnot(Q\lor R)$

Пример 1.1.2
Проверьте тавтологии в теореме 1.1.3.

Пример 1.1.3
Предположим, что $P(x,y)$ — это формула «$x+y=4$», а $Q(x,y)$ — это
формула «$x

$P(x,y)\land Q(x,y)$,    $\lnot P(x,y)\lor Q(x,y)$,

$P(x,y)\подразумевает \lnot
Q(x,y)$,    $\lnot(P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y))$,

, используя значения:

    a) $x=1, y=3$ c) $x=1, y=2$
    b) $x=3, y=1$

    d) 9228 d) $x=2, y=1$

Пример 1.

Copyright 2018 TTC

Телефон: +7(919) 812-25-14